"Schaken is Wiskunde (5) " door Hans Meijer

Leonardo Pisano, beter bekend als Fibonacci, publiceerde in 1202 zijn beroemde boek "Liber Abaci", het boek van de rekenkunde. Met dit boek introduceerde hij in Europa het Hindoe-Arabische cijferstelsel. De tien cijfers zijn 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 en de 0. In zijn boek verdedigt Fibonacci het gebruik van deze tien cijfers en het positiestelsel waarin de specifieke waarde van een cijfer afhangt van zijn plaats in een getal, b.v. 1729 = 1 duizendtal + 7 honderdtallen + 2 tientallen + 9 eenheden. Dankzij dit boek verdwijnen de Romeinse cijfers in Europa van het toneel. Het tientallig stelsel maakte het rekenen, denk aan de boekhouding van Leonardo’s vader die een rijke Italiaanse handelaar was, aanzienlijk eenvoudiger en efficienter.

Tegenwoordig dankt Fibonacci zijn beroemdheid vooral aan een getallenrij die naar hem vernoemd is en die hij in zijn boek beschrijft. De eerste termen van deze rij zijn: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... , (oeis.org/classic/A000045). De structuur van deze reeks is simpel. Na F(0)=0 en F(1)=1 is elke volgende term de som van de twee die er aan voorafgaan. De Fibonacci rij heeft intrigerende eigenschappen, zie Wikipedia (en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number) en de website van Ron Knott (maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fib.html).

Knott bespreekt op zijn website onder andere de tafelopstellingen voor een schaakwedstrijd als er sprake is van een even aantal spelers en maximaal 2 rijen. Voor 2 spelers geldt dat er slechts 1 tafelopstelling is en voor 4 spelers zijn het er 2. Er zijn 3 tafelopstellingen voor 6 spelers, zie de figuur. Bij 8 (resp. 10) spelers zijn er 5 (resp. 8) tafelopstellingen te bedenken en komt de Fibonacci reeks al in beeld. Wellicht is het een idee voor de wedstrijdleider extern om bij Promotie met de Fibonacci tafelopstellingen te experimenteren. Andere clubs zullen er van opkijken.

De drie mogelijke tafelopstellingen in maximaal twee rijen voor zes schakers.

In zijn artikel “New directions in enumerative chess problems” laat Noam Elkies (2005) aan de hand van twee schaakproblemen zien dat de Fibonacci reeks niet alleen in de zaal maar ook op het schaakbord voor kan komen (arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0508/0508645v1.pdf).

Elkies is net als Fibonacci een beroemd wiskundige. In 1993 werd hij op zesentwintig jarige leeftijd benoemd tot professor aan de Harvard universteit. Hij werd daarmee aan Harvard de jongste professor aller tijden. Een van zijn hobby’s is schaken. Met name de relatie tussen schaken en wiskunde interesseert hem. Hij schaakt niet slecht. In 1996 werd hij in Tel Aviv tot zijn eigen verbazing wereldkampioen bij het probleemoplossen. Hij construeert ook problemen: Meestal problemen met een bizarre pointe. Met de kerst van 2009 trof ik er eentje op chessbase.com aan (chessbase.com/puzzle/christmas2009/chr09-sol2.htm). Een remise in 50 zetten. Hieronder een staaltje van zijn kunnen uit bovengenoemd artikel.

N.D. Elkies (2003)

Een typisch Elkies probleem. Wat is de n-de term van de reeks die het aantal manieren waarop wit in exact n-zetten schaakmat kan forceren weergeeft? We negeren hier de 50-zetten regel en de regel dat het remise is als de stelling drie keer herhaald wordt. Het fascinerende antwoord is: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... , met mat in 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... , zetten. De Fibonacci-reeks! Enkele voorbeelden: Voor n=1 hebben we 1.b7# en a(1) = 1; Voor n=2: 1.Lh2 Lh7 2.b7# en a(2) = 1; Voor n=3: 1.Lh2 Lh7 2.Lg3 Lg8 3.b7# en 1.Lh2 Lh7 2.Lg1 Lg8 3.b7# en a(3) = 2; Voor n=4: 1.Lh2 Lh7 2.Lg3 Lg8 3.Lh4 Lh7 4.b7# en 1.Lh2 Lh7 2.Lg3 Lg8 3.Lh2 Lh7 4.b7# en 1.Lh2 Lh7 2.Lg1 Lg8 3.Lh2 Lh7 4.b7# en a(4)=3; etc.. We zien dat tot aan het moment dat wit mat geeft alleen de lopers kunnen spelen. De zwarte loper pendelt tussen g8 en h7 en de witte wandelt op en neer langs het pad g1-h2-g3-h4. Het aantal oplossingen is dus gelijk aan het aantal wandelingen van de witte loper met lengte (n-1). Dit getal is bekend en gelijk aan het Fibonacci getal F(n). Het bewijs is volgens Elkies eenvoudig en wordt aan de lezer overgelaten, iets dat ik bij deze ook doe. Het lijkt me een aardige uitdaging voor de wiskundigen onder de Promotie spelers.

P.M. Ik heb wel een bewijs maar dat lijkt me niet het eenvoudige bewijs waar Elkies in zijn artikel over rept. Voor mijn bewijs ging ik te rade bij “Introductory Graph Theory” van Gary Chartrand (1985, p.218-220). Kopen dit boek! Al was het maar vanwege de omslag waarop een schaakbord met een gesloten paardentoer voorkomt. Een boek voor op de salontafel!

17 april 2010