"Vierenzestig" door Hans Meijer

In het maart 2010 nummer van clubblad 'De Promoot' zie ik dat er bij Promotie exact 64 schakers aan de seniorencompetitie deelnemen. Dat doet mij goed want voor schakers is 64 een heilig getal. Het schaakbord telt 64 velden en echt fanatieke schakers, Bobby Fischer bijvoorbeeld, vertrekken als ze 64 zijn. Laten we ervan uitgaan dat de 64 Promotie schakers allemaal trouw aan de columns over 'Schaken is Wiskunde' beginnen en dat zij de enige lezers zijn. Een enkeling zal nu roepen dat dit niet klopt omdat Henk Breugem niet over een internetaansluiting beschikt en dat er ook in Bolivia een lezer schijnt te zitten maar die laten we hier, zoals echte wetenschappers gewoonlijk doen als iets lastig wordt, buiten beschouwing. Ik stel vast dat als er 64 schakers aan genoemde columns beginnen en er ??n formule of getallenrijtje in staat er nog maar 32 lezers overblijven. Na twee formules reduceert dit aantal tot 16, na drie tot 8, na vier tot 4, na vijf tot 2 en na 6 formules is er nog slechts ??n enkele lezer over. Meestal probeert de columnist zich te beperken tot vier formules zodat hij uiteindelijk nog vier lezers overhoudt. Dat zijn Willem Broekman, de webmaster die uit hoofde van zijn beroep die stukjes wel moet lezen, Manuel Nepveu en Jan Blankespoor, die formules lezen alsof het gewoon Nederlands is, en u. "Ik?" "Ja u! Want u bent lid van een genootschap dat Promotie heet en dat elke week weer probeert de geheimtaal van het schaken in de Olympus in Zoetermeer te doorgronden. Dat lukt niet al te best omdat u dankzij de columnist van 'Schaken is Wiskunde' weet dat schaken een bijzonder vreemd soort wiskunde is waar nog niemand echt greep op heeft. U hoopt echter dat u langzaam maar zeker dankzij zijn columns iets dichter bij de kern van de zaak zal geraken. Daarom leest u die columns. Toch?"

Dit delen door twee is een effici?nte methode om grote getallen klein te maken. Zo vereist een toernooi volgens het knock-out principe met zeven miljard schakers, iedereen op de aardbol, niet meer dan het luttele aantal van 33 ronden om de wereldkampioen aan te wijzen.

Het is u wellicht opgevallen dat dit halveren de omgekeerde versie is van het verdubbelen dat in de legende over de uitvinding van het schaakspel voorkomt. Volgens deze legende werd grootvizier Sissa ben Dahir door koning Shirham van India gevraagd welke beloning hij wilde voor het uitvinden van het schaakspel. Sissa antwoordde daarop: "Majesteit, ik zou gelukkig zijn als u mij op het eerste veld van het schaakbord een graankorrel, twee op het tweede, vier op het derde, acht op het vierde, en zo verder voor alle 64 velden, wilt geven." "Is dat alles wat je wilt, Sissa, jij idioot?" vroeg de verbaasde koning. De koning gaf hiermee te kennen dat hij niet meteen door had hoeveel graan zijn grootvizier wenste te ontvangen maar daar kwam hij snel achter. Om aan zijn wens te voldoen is de graanproductie van de gehele wereld gedurende 5000 jaar en een trein met 2000 miljoen wagons nodig [2a]!

Een variant op deze fraaie legende is het volgende verhaaltje over het beddenlaken van Linus. Linus is een van de vriendjes van Charlie Brown in de Peanuts strip en wordt vrijwel altijd afgebeeld met een groot laken in zijn linkerhand. Linus is ongewoon slim en fungeert in de strip als de filosoof. Het is dan ook niet vreemd dat Linus zich op een goede dag afvraagt hoe vaak hij zijn laken kan dubbelvouwen. Voordat u dit in de praktijk gaat uittesten eerst even een gedachtenexperiment. Laten we ervan uitgaan dat Linus een laken heeft van 0.4 mm dik en dit 40 keer wil dubbelvouwen. Hoe hoog schat u dat de stapel die hierdoor ontstaat zal zijn? Denk goed na voordat u antwoord geeft want dit is een verre van triviale vraag. Het juiste antwoord is dat u met die stapel de afstand van de aarde tot de maan kunt overbruggen. Dit antwoord klinkt u niet erg waarschijnlijk in de oren? Met een laken naar de maan reizen klinkt inderdaad wat vreemd maar laten we de proef op de som nemen. Ik stel voor dat u een beddenlaken uit uw slaapkamer haalt en dit voor uw huis 40 keer dubbelvouwt. Wedden dat als u dit lukt dat u dan op de maan staat. En mocht het u de eerste keer niet lukken dan raad ik u aan om Britney Gallivan om raad te vragen. Zij weet hoe u het aan moet pakken [2b].

Voor het damspel op 64 velden, dat in Amerika bekend staat als checkers en in Afrika zeer populair is, neemt het aantal verschillende posities per halve zet met een factor van ongeveer 3 toe. Dit aantal groeit dus harder dan bij de verdubbelingsspelletjes. Tientallen computers hadden samen zo'n 18 jaar nodig om in 2007 vast te stellen dat als men checkers perfect speelt geen van beide spelers kan winnen. In principe is checkers dus gekraakt. Wat het schaakspel op 64 velden betreft is de te kraken noot groter. Op de eerste zet heeft wit 20 zetten tot zijn beschikking en na een zet van zwart ontstaan er al 400 verschillende posities. Een toename met een factor 20. Deze factor blijkt een ondergrens voor de toename van het aantal posities per halve zet te zijn. Het aantal posities groeit door deze factor bijzonder snel. Deze extreem grote noot is zelfs voor vele supercomputers samen niet te kraken [2c].

[1] svpromotie.nl/columnhansmeijer.htm
[2] The Math Book, Clifford A. Pickover, 2009, 528 pagina's.
(a) Wheat on a chessboard. Abu-l'Abbas ibn Khallikan, 1256, p. 102. (b) Bed Sheet Problem. Britney Gallivan, 2001, p. 504. [wikipedia.org/wiki/Britney_Gallivan]
(c) Checkers is solved. Jonathan Schaeffer, 2007, p.512. [oeis.org/classic/A133047]