Schaken is Wiskunde
Hans Meijer - 08 February 2009
"Schaken is Wiskunde " door Hans Meijer Welke schaker zou zich niet in de volgende uitspraken herkennen? 'Ik heb nooit iets 'nuttigs' gedaan. Geen enkele ontdekking van mij heeft, of zal, direct of indirect, ten goede of ten kwade, het geringste verschil maken. Als we mijn werk langs elke mogelijke praktische maatlat leggen is de waarde ervan nihil. Ik heb slechts ??n kans om te ontsnappen aan de totale irrelevantie en die is dat men zal oordelen dat ik iets gecre?erd heb dat waard was te cre?ren. Dat ik iets gecre?erd heb is niet te ontkennen. De vraag is wat het waard is.' Toch was het geen schaker die deze zinnen opschreef maar een wiskundige. In 1940 verscheen van de hand van G. (Godfrey) H. Hardy een boekje met als titel 'A Mathematician's Apology' waarin hij zijn leven als wiskundige verdedigde. Met wiskunde doelde hij hier niet op de wiskunde die men gebruikt om stoommachines te bouwen maar op de echte wiskunde. De wiskunde die bewijst dat er oneindig veel priemgetallen (d.w.z. 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.) zijn, dat de wortel uit 2 een irrationeel getal is (d.w.z. dat deze wortel niet als breuk van twee gehele getallen geschreven kan worden) en dat we, los van alle andere posities, in staat zijn de n-de (binaire) positie van het getal pi te berekenen. Verbijsterende ontdekkingen maar wat zijn ze waard? Niets volgens Hardy. Als het leven van een zuivere wiskundige al nutteloos is hoe staat het dan wel niet met het leven van een schaker? Hardy geeft in zijn boekje min of meer terloops antwoord op die vraag. Ik geef hieronder in het kort zijn visie op de schaakwereld weer. 'Een schaakprobleem is echte wiskunde, maar in zekere zin triviale wiskunde. Hoe ingenieus en diep ook, hoe origineel en verrassend de zetten, er ontbreekt iets. Schaakproblemen zijn onbelangrijk. De beste wiskunde is serieus en bovenal fraai - 'belangrijk' als je wilt, maar dat woord is dubbelzinnig en 'serieus' drukt beter uit wat ik bedoel. Op dit moment zeg ik slechts dat als een schaakprobleem 'nutteloos' is dat dit ook waar is voor de beste wiskunde; dat zeer weinig wiskunde praktisch nut heeft, en als het dat wel heeft die wiskunde relatief gezien saai is.' 'Een serieus wiskundig theorema, een theorema dat belangwekkende idee?n met elkaar verbindt, zal waarschijnlijk leiden tot vooruitgang van de wiskunde zelf en eventueel van andere wetenschappen. Geen enkel schaakprobleem heeft ooit de algemene wetenschappelijke vooruitgang be?nvloed.' 'Ik zei dat een wiskundige de maker is van patronen van idee?n en dat schoonheid en serieusheid de criteria zijn waarmee deze patronen beoordeeld moeten worden. Het schaakprobleem is een product van een ingenieus maar zeer beperkt complex idee?n die fundamenteel gezien niet erg sterk van elkaar verschillen en geen externe consequenties hebben. Wij zouden op dezelfde manier denken als het schaakspel nooit uitgevonden zou zijn, terwijl de theorema's van Euclides en Pythagoras ons denken, ook buiten de wiskunde, diepgaand be?nvloed hebben.' 'Een schaakprobleem heeft ook zijn onverwachte kanten en vereist een zekere economie; het is essentieel dat zetten verrassend zijn en dat elk stuk op het bord een rol speelt. Het is van belang dat de sleutelzet gevolgd wordt door vele variaties met ieder zijn eigen individuele antwoord. 'Als 1.Ke2! dan ...; als ... dan; als .... dan; - het effect zou verloren gaan als er niet vele antwoorden zouden zijn. Dit alles is echte wiskunde, en heeft zijn betekenis; maar dit is slechts het bewijs door 'opsomming' iets dat een echte wiskundige veracht.' Hardy's redenering gaat ook op voor de gewone schaakpartij. Claude Shannon heeft geschat hoeveel mogelijke partijen er gespeeld kunnen worden. In 1950 schreef hij een artikel met als omineuze titel 'Programming a computer for Playing Chess. Zijn schatting van 10^120 (tien tot de macht honderdtwintig) mogelijke partijen staat nu bekend als het Shannon getal. Shannon onderbouwde dit getal als volgt: 'Met schaken is het mogelijk, om in principe, een perfecte partij te spelen of om een machine te construeren die dat doet. Dit gaat als volgt. Men bekijkt in een bepaalde positie alle mogelijke zetten, dan alle zetten van de opponent, etc., tot het einde van de partij (in elke variatie). Het einde van de partij vindt plaats, volgens de regels van het schaken na een eindig aantal zetten (denk aan de 50 zetten regel voor remise). Elk van deze varianten eindigt in winst, verlies of remise. Door van achteren naar voren te werken kan men bepalen of er een geforceerde winst is, of de positie remise is, of dat deze verloren is. Het is niet moeilijk om aan te tonen dat dit zelfs met zeer snelle elektronische computers niet te realiseren is. In een typische schaakpositie zijn er ongeveer dertig zetten mogelijk. Dit getal is redelijk constant over de gehele partij totdat deze bijna voorbij is zoals door A. (Ad?) D. de Groot voor de gemiddelde meesterpartij aangetoond is. Dus een zet voor Wit en een voor Zwart geeft ongeveer duizend mogelijkheden. Een typische partij duurt ongeveer 40 zetten. Dit is een conservatieve berekening omdat een machine tot schaakmat door zou rekenen en niet tot capitulatie. Maar zelfs met deze getallen moeten er ongeveer 10^120 varianten vanaf het begin tot het einde van de partij doorgerekend worden. Een machine die elke microseconde een positie evalueert zou er meer dan 10^90 (iets nauwkeuriger 10^106) jaren voor nodig hebben om het schaakspel door te rekenen.' In deze context is het aardig even te kijken naar het aantal mogelijke schaakpartijen na n halve zetten. De 'Online Encyclopedia of Integer Sequences' van Neil Sloane geeft hiervoor de volgende getallenreeks (ik start steeds met n=1): 20, 400, 8902, 197281, 4865609, 119060324, 3195901860, 84998978956, 2439530234167, 69352859712417, 2097651003696806,.. . Een mooie reeks is ook het aantal partijen dat na n halve zetten voorbij is: 0, 0, 0, 8, 347, 10828, 435767, 9852036, 400191963, 8790619155, 362290010907,... Een leuke opgave is om de acht partijen te construeren waarbij zwart na vier halve zetten wit mat zet. Dat is niet echt moeilijk maar let op de gemene valkuil. De echte fanatici kunnen daarna doorgaan met n=5. Uiteraard kunnen we het Shannon getal naar boven bijstellen door meer posities in onze beschouwing mee te nemen. Fundamenteel gezien is dit alleen voor computers die het van hun 'dommekracht' moeten hebben interessant. Essentieel is dit niet want schaken blijft voor mensen ?n computers een eindig aftelbaar spelletje. Dit alles is, volgens Hardy, echte wiskunde maar het is slechts 'opsomming'. Alle mogelijke partijen staan als het ware al in het Grote Boek. De onontkoombare positieve conclusie is dat wij schakers wiskundigen zijn. De andere, wat mindere, conclusie is dat een schaker het niet al te snuggere broertje van een echte wiskundige is. (1) Voor Hardy's boek zie: http://www.scribd.com/doc/2867/A-Mathematicians-Apology
(2) Voor het artikel van Shannon's artikel zie o.a.: http://www.pi.infn.it/~carosi/chess/shannon.txt. De langst mogelijke partij telt 6350 zetten, vanwege de limiet van 50 zetten tussen elke pion- of slagzet. Tim Krabb? vermeldt 269 zetten voor de langst bekende partij tussen twee meesters.
(3) De reeksen van Sloane zijn te vinden op: www.research.att.com/~njas/sequences/A048987 en A079485. Voor extra informatie zie: www.cs.berkeley.edu/~flab/chess/statistics-games.html http://www.scribd.com/doc/2867/A-Mathematicians-Apology http://www.pi.infn.it/~carosi/chess/shannon.txt www.research.att.com/~njas/sequences/A048987 www.research.att.com/~njas/sequences/A079485 www.cs.berkeley.edu/~flab/chess/statistics-games.html |
