"Een bijzonder toernooi" door Hans Meijer

Tot mijn verrassing kreeg ik een e-mail van de directeur van het Corus schaaktoernooi. Hij had op de Promotie website mijn column over de 'Twee jarige schakers' gelezen en vroeg mij of ik de opstelling voor de hoofdgroep van Corus 2009 wilde maken. Het moest het 7D of '1 keer in de 70.000 jaar' toernooi worden liet hij mij weten. Deze extreem kleine kans moest samen met de speciaal ontworpen '7-dimensionale' affiches extra publiciteit voor Corus 2009 gaan genereren.

Ik dacht na over de te volgen strategie voor mijn uitnodigingsbeleid. Zoveel mogelijk van de 14 deelnemers moesten tot de wereldtop behoren en zo niet dan moesten ze voor een breed publiek interessant zijn. De 7 paren vereiste de juiste combinatie van de geboortejaren. Voor de kans van 1 op 70.000 was verder een tijdspanne van 23 jaar tussen de jongste en oudste schakers een extra vereiste.

Hoe zat het precies met de kansen van de verschillende combinaties van geboortejaren? Hoeveel van die combinaties zijn er eigenlijk mogelijk bij 14 schakers? Bij vier deelnemers zijn het er vijf: 4V, 1D + 2V, 1T + 1V, 2D, 4-T, met V voor verschillende geboortejaren, D voor duo, T voor triple en 4-T voor 4-tuple. Deze vraag bleek regelrecht naar de partitiefunctie p(n) te leiden. Andr? Weil schreef in zijn boek 'Number theory' (2001) dat Leonhard Euler, een van de grootste wiskundigen aller tijden, in 1740 de partitiefunctie als eerste diepgaand bestudeerde. Zonder hiervan op de hoogte te zijn vond ik dat p(14) = 135 en ontdekte op basis van de formules voor p(n,k), die het aantal partities met als kleinste getal k representeren, Euler?s schip en de Pentagonale Zee. De schitterende dekken van dit fantastische schip blijken totaal onverwacht naar zijn beroemde pentagonale getallen theorema te leiden. Een wonderbaarlijk geheel 1).

Figuur 1. Euler's schip op de Pentagonale Zee.

Een ander punt van aandacht was mijn veronderstelling bij het berekenen van de kansen dat alle geboortejaren van de absolute top even waarschijnlijk zijn. Ik bestuurde de FIDE top 101 lijst van april 2008 met de geboortejaren. Vooraf had ik er 101 flessen wijn op willen zetten dat de geboortejaren uniform verdeeld zijn maar na het bekijken van de FIDE lijst was ik niet zo zeker van mijn zaak. Het werd me al snel duidelijk dat om tot de top 101 te behoren je tussen 1965 en 1990 geboren moet zijn. Slechts vijf schakers, waaronder Karpov uit 1951, Beliavsky uit 1953 en onze medelander Nikolic uit 1960, zijn ouder en laat ik hier verder buiten beschouwing. Op wereldniveau gaat een schaker dus, op een enkele uitzondering na, maar 26 jaar mee. Dat is niet lang. Als we 96 delen door 26 dan geeft dat 3.7 topschakers gemiddeld per jaar. Ik telde in de gauwigheid 10 schakers in 1983, 0 in 1984 en 8 in 1985. Was de top 96 wel uniform verdeeld? Gelukkig is er de Chi-kwadraat test om dit te toetsen. Deze vertelde me dat alles in orde was. Voor alle zekerheid raadpleegde ik Manuel Nepveu. De kritiek op de Chi-kwadraat toets van onze Bayesiaan was niet van de lucht. Hij raadde mij de maximum entropie methode aan. In het boek 'Probability Theory: The logic of science' (2003) van Edwin T. Jaynes kon ik er alles over lezen. Ook was een andere hypothese als alternatief voor de uniforme verdeling absoluut noodzakelijk. Al mijn tegenargumenten, zoals 'Maar Manuel, volgens het boek van Jaynes geldt dat bij netjes toetsen Psi = 2.17ChiK, dus waar hebben we het eigenlijk over?', mochten niet baten. Ik had al gelezen dat Bayes aanhangers overtuigd zijn van hun eigen gelijk en nu maakte ik het van nabij mee. Ik ging door de knie?n en verzon als alternatief de hypothese dat jeugdigen en ouderen ieder 10 procent van de populatie uitmaken en de middengroep de resterende 80 procent. Mijn conclusie was dat beide verdelingen acceptabel zijn maar dat de 10/80/10 verdeling verreweg het beste voldoet. Voor mijn berekening van de kansen had ik echter al de simpele uniforme verdeling gebruikt. Ik besloot gewoon verder te gaan op de ingeslagen weg. Dat was wel zo gemakkelijk 2).

Terug naar mijn vraag over de kansen van optreden van de verschillende combinaties. De top 15 combinaties voor n =14 en D =23 jaar zijn, in volgorde van afnemende grootte van de kans van optreden: 3D, 2D, 2D+1T, 4D, 1D+1T, 3D+1T, 1D, 5D, 1D+2T, 1T, 1D+1 4-T, 2T, 4D+1T, 2D+2T, V; daar waar nodig aangevuld met V?tjes voor de rest van de schakers. Opmerkelijk is dat de kans op de 3D combinatie het grootst is en dat de kans dat alle 14 schakers in een ander jaar geboren zijn pas op de vijftiende plaats staat. De gezamenlijke kans van de top 15 is p = 0.95. Voor de resterende 120 combinaties is dan nog p = 0.05 over. Dat is niet bijster veel 3).

Na enig puzzelen had ik mijn lijst met deelnemers klaar: Sokolov (29) en Gelfand (16) uit 1968; Anand (1) en Ivanchuk (11) uit 1969; Shirov (12) en van Wely (45) uit 1972; Kramnik (2) en Topalov (4) uit 1975; Sutovsky (93) en Morozovich (3) uit 1977; Radjabov (8) en Nakamura (34) uit 1987; Carlsen (5) en Karjakin (13) uit 1990. Als reserve paren noteerde ik: Aronian (6) en Vallejo Pons (38) uit 1982 plus Mamedyarov (7) en Navara (50) uit 1985. Tussen haakjes staat een ieders plaats op de FIDE ratinglijst van april 2008 genoteerd.

Ik had mijn opdracht al afgerond toen ik de column 'Kampioen van Europa' van Ruurd Kunnen van 3 mei onder ogen kreeg. Tiviakov was in Plovdiv Europees kampioen geworden door in de laatste ronde Sutovsky te verslaan. Volgens Ruurd moest de Nederlandse schaakwereld dit succes op passende wijze waarderen. Een uitnodiging voor de hoofdgroep van het volgende Corus toernooi was wel het minste. Tkachiev (64) en Tiviakov (85) leek me het interessantste 1973 duo. Mijn lijstje met zeven paren plus drie reserve paren voor het Corus 7D 2009 toernooi kon op de post.

1) Het vijfde dek van Euler?s schip kan als volgt ge?nterpreteerd worden: p(n,5) = p(n-5) - p(n-6) - p(n-7) + 2p(n-10) - p(n-13) - p(n-14) + p(n-15) met p(0) = 1 en voor n = -1,-2,.. p(n)=0. De eerste veertien partities p(n) zijn: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135; zie Neil Sloane?s 'The On-line Encyclopedia of Integer Sequences'. Via p(n) = p(n,1) + p(n,2) +...+ p(n,n) leidt dit naar een van de mooiste formules uit de wiskunde p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + p(n-12) + p(n-15) - .. waarin de pentagonale getallen 1, 2, 5, 7, 12, 15, etc. te herkennen zijn. Een andere interpretatie van het vijfde dek is d5(x)=(1-x)(1-x**2)(1-x**3)(1-x**4) hetgeen via de lagere dekken uiteindelijk naar het oneindige product dinf(x) = Product(1-x**i) = 1 - x - x**2 + x**5 + x**7 - x**12 - x**15..... leidt, d.w.z. het Pentagonal Number Theorem. Op Euler?s schip blijkt in (bijna) elke lift een specifieke bug te leven. Voor de bug in de tiende lift geldt MB10(y)= 1 - y - y**2 + 2y**5 - y**6. Hieronder een afbeelding van de MB250.

Figuur 2. De MB250. Voor het eerst gesignaleerd op Euler?s schip.

2) Mijn bevindingen: H1 = Uniform: MaxEnt Psi = 30.4; ChiKwa: ChiK = 14 en v = 12 geven p = 0.70 < 0.90; H2 = 10/80/10: MaxEnt Psi = 15.1; CkiKwa: ChiK = 6.6 en v = 12 geven p = 0.12 << 0.90. De relatie Psi = 5ChiK log(e) = 2.17 ChiK is in deze getallen goed te herkennen.

3)De formule voor de kans p(n;x,y,D), met x het aantal y-tuples (D = duo = 2, T = triple = 3, etc.) onder n schakers bij een gegeven tijdsbestek D: p(n;x,y,D) = S(n;x,y) (D!)/[{(D-n+(y-1)x}! D**n] met S(n;x,y) = (n!)/ [(n-yx)! x! (y!)**x]. Met dank aan Bruce Martin en Manuel Nepveu.