"De weddenschap" door Hans Meijer

'Maar laten we concreet worden: wij doen een weddenschap.' schreef Hans B?hm mij op 13 april in een e-mail. In De Telegraaf had hij in zijn schaakrubriek van 12 april de weddenschap als volgt verwoord: ?Ik wil hoe dan ook met iedereen een weddenschap aangaan, ongeacht de inzet, dat ik tijdens mijn leven Smeets - L'Ami op 5 april in een NK niet meer meemaak.' Jan Smeets en Erwin L'Ami hadden elkaar dit jaar tijdens het NK precies op hun verjaardag aan het schaakbord getroffen. Een unicum. De kans op zo?n treffen is extreem klein, 1 op 50.000, zie mijn vorige column over de 'Twee jarige schakers'. Ik had al uitgerekend dat, als beide schakers samen nog 22 jaar mee zouden doen aan het NK, de kans dat dit unicum zich herhaalt 0.07 is. B?hm's voorstel was een inzet van zijn kant van 10.000 euro tegenover een inzet van mijn kant van 1000 euro.

Ik vond B?hm?s reactie wel grappig. In Breukelen wilde hij in 1968 nog om een cola schaken. Die heb ik hem toen maar aangeboden. Zijn inzet was nu aanzienlijk hoger. B?hm reageerde terstond op mijn e-mail over de cola met de opmerking: 'Mensen herinneren zich de raarste dingen. Zeg nou zelf.' Daar zit wel wat in. We hebben de neiging ons zeldzame gebeurtenissen (winnen van Bannink) te herinneren en alledaagse voorvallen (winnen van een onderbonder) te vergeten.

Wat mij opviel aan het voorstel van B?hm was dat, zelfs in de gunstigste situatie van nog 22 NK?s met Smeets en L'Ami, mijn verwachte winst negatief uitpakte. Mijn winst- en verliesrekening: 0.07 x 10.000 - 0.93 x 1000 = -230 euro. Een 'safe bet' noemde de wiskundige en IM Peter Gelpke dit in een e-mailtje. Dat vond ik ook. Iets anders dat mijn aandacht trok was de zinsnede 'tijdens mijn leven'. Als ik de weddenschap al verloor dan zou ik de duizend euro aan de erfgenamen van B?hm uit moeten keren. Ik kon hier wel om glimlachen. Peter Gelpke en Willem Broekman hadden dit echter ook gezien en suggereerden een tijdslimiet.

Het leek me realistischer ervan uit te gaan dat Smeets en L'Ami, die allebei 23 jaar oud zijn, hoogstens nog tien keer samen aan het NK mee doen. Dan neemt de kans dat ze op hun verjaardag tegen elkaar moeten spelen af naar 0.03. Om het risico te spreiden stelde ik Willem en Manuel voor om ieder 100 euro in te zetten tegenover de 10.000 euro van B?hm. De verwachte winst is dan voor beide kanten zo?n 300 euro. Het leek me wel aardig om op het bondsbureau van de KNSB , waar Mark van der Werf de scepter zwaait, de weddenschap te beklinken. Dan konden we meteen een deel van onze winst aan de KNSB toezeggen als deze voortaan het NK begin april organiseert.

Er zaten nog wat adders onder het gras. Bij het berekenen van onze winstkans waren Manuel Nepveu en ik van de veronderstelling uitgegaan dat alle data van het jaar voor het NK even waarschijnlijk zijn. Daar valt wel wat op af te dingen. In januari zie ik vanwege het Corus toernooi zo gauw nog geen NK plaatsvinden en hetzelfde geldt voor juli vanwege het Open NK. Wat bladeren in Schaakmagazine en Schakend Nederland leerde me dat dit voor april niet opging. Met name in jaren 70 werd het NK in april in Leeuwarden, met als sponsors Friesche Vlag en Friesland Bank, verspeeld. Een keer, in 1979, toen Gert Ligterink kampioen werd, zelfs in maart! Pas vanaf 1990 werden vrijwel alle NK's later in het jaar verspeeld. Ik zag dan ook geen reden om onze berekening aan te passen. Onze winstkans zou vanwege april vermoedelijk zelfs iets groter zijn.

De echte adder onder het gras was dat we voor deze weddenschap afhankelijk zijn van de deelname van zowel Smeets als L'Ami aan het NK. We verliezen de weddenschap als een van hen afscheid neemt van het NK of, nog radicaler, stopt met schaken. De voorbeelden liggen voor het oprapen. Jeroen Piket is gestopt met schaken en op het NK van dit jaar ontbraken om diverse redenen zeven grootmeesters. Wat betekende dit voor onze winstkans? Ik had geen idee maar onze Bayesiaan Manuel bracht uitkomst. Zijn conclusies: Gegeven een tijdslimiet van 10 jaar is de kans op nog een keer Smeets versus L'Ami op het NK 0.01, ofwel 1 op 100, en met een tijdslimiet van 22 jaar wordt de kans 0.02, ofwel 1 op 50 (zie voor de details Manuel?s berekening hieronder).

Op 15 april stuurde ik B?hm per e-mail een tegenvoorstel.
a) Tijdslimiet 10 jaar. Ik zet 1 fles wijn in tegen jij 100 flessen wijn.
b) Tijdslimiet 22 jaar. Ik zet 1 fles wijn in tegen jij 50 flessen wijn.
Akkoord?

Op mijn tegenvoorstel is B?hm nog niet ingegaan. Waarom eigenlijk niet? De godin van het geluk is met 99 (49) tegen 1 op zijn hand. Wel heeft hij me per e-mail nogmaals bedankt voor de cola in 1968.

------------------

De weddenschap volgens een Bayesiaan - Manuel Nepveu (14 april 2008).

(I) p(meeting Smeets L'Ami op NK) = SOM p(meeting, N) = SOM p(meeting |N) p (N).

(II) p(meeting Smeets L'Ami op NK|N) is N/365; dit is een goede benadering voor N<<365.

p(N) is de kans dat de schakers na N jaar beiden nog meedoen en daarna niet meer beiden. Neem aan dat de verdelingsfunctie voor het afspringen voor ieder van de schakers de uniforme verdeling is op een interval [0,Nmax]. Het afspringen van de schakers is onafhankelijk. Ja toch?
Dan laat zich bewijzen dat de in formule (I) genoemde p(N) een lineaire functie is (maak even een plaatje in 2D voor de simultane distributie en kijk naar de beperkende factor), namelijk p(N) = (2/Nmax) (1 - N/Nmax). Ik neem Nmax = 10 jaar.

(III) p(N) = 1/5 - N/50

Bij N=10 klopt dit strikt genomen niet, maar als benadering is het niet al te beroerd.

De sommatie in (I) heb ik vervangen door integratie, gemak dient de mens. (juist daarom voldoet (III) ook, die alleen genormeerd is als N als variabele plots alle re?le getallen tussen 0 en 10 mag doorlopen. Sluw he?) en zo kom ik op (afgeronde getallen).

Nmax = 10 jaar dan is p(meeting) = 0.01 zodat een weddenschap van 1 tegen 100 okay is.
Nmax = 22 jaar dan is p(meeting) = 0.02 zodat een weddenschap van 2 tegen 100 okay is.

Ik heb een uniforme verdeling verondersteld voor de afspringverdelingsfunctie van elk van de twee schakers. Dit is rekentechnisch handig, maar ik vermoed dat het afspringen in de komende jaren toch het meest waarschijnlijk is. Ik beweer dan ook dat mijn berekening onze winstkans zelfs overschat.