"Twee jarige schakers" door Hans Meijer

De Telegraaf plaatste op 5 april een stukje van schaakmedewerker Hans B?hm met als titel 'Unieke confrontatie NK schaken '. Tijdens het Nederlands Kampioenschap speelden op 5 april 2008 in Hilversum de op 5 april 1985 geboren GM?s Erwin l'Ami en Jan Smeets tegen elkaar. Volgens B?hm was de kans op zo?n gebeurtenis 1 op 10.439.000. Zo?n kleine kans leek mij sterk. In samenspraak met dr. Manuel Nepveu berekende ik de echte kans op deze confrontatie.

Gegeven 12 NK schakers, waarvan de jongste 20 (geboortejaar 1987) en de oudste 45 (geboortejaar 1963) is. De vraag is wat de kans is dat twee schakers, die op dezelfde dag en in hetzelfde jaar geboren zijn, op hun verjaardag tijdens een van de 11 ronden van het NK tegenover elkaar zitten. We veronderstellen dat de aanvangsdag van het NK willekeurig gekozen is, dat de deelnemers loten om hun startnummer en dat alle geboortedata even waarschijnlijk zijn. Alleen het eerste punt is wat problematisch gelet op de vele toptoernooien met startdata die vastliggen. Dit kan natuurlijk opgelost worden door gewoon veel meer geld te bieden dan die andere toernooien. Onze berekeningen gelden uiteraard ook voor elk ander (schaak)toernooi dat aan al deze eisen voldoet.

Laten we beginnen met het antwoord op de vraag wat de kans is dat minimaal 2 van de 12 schakers op dezelfde dag jarig zijn. Deze kans is exact te berekenen en is 0.167, dw.z. een kans van 1 op 6, [zie: Coincidences: Remarkable or Random, Bruce Martin, Skeptical Inquirer, Sept./Okt. 1998; www.csicop.org/si/9809/coincidence.html; p = 1 - (1-1/365)(1-2/365)....(1-11/365)]. Het is dus geen verrassing als 2 van de 12 op dezelfde dag jarig zijn. De kans dat ze tijdens een van de 11 ronden van het NK jarig zijn is 0.167 x (11/365) = 0.005 ofwel 1 op 200. Dat is wel een verrassing.

Wat is nu de kans dat twee van de NK deelnemers in hetzelfde jaar geboren zijn en tevens op dezelfde dag jarig zijn? Het tijdsbestek waarin de NK deelnemers geboren zijn is 25 x 365 dagen = 9125 dagen. De kans dat in dit tijdsbestek 2 van de 12 schakers op dezelfde dag geboren zijn is exact te berekenen en is 0.0072 [p = 1 - (1-1/9125)(1-2/9125).....(1-11/9125)]. De kans dat hun verjaardag tijdens een van de 11 ronden valt is 11/365 en de kans dat ze tijdens het toernooi precies op hun verjaardag tegenover elkaar zitten is 1/11. De kans dat deze drie gebeurtenissen tegelijk plaatsvinden is p = 0.0072 x (11/365) x (1/11) = 0.00002 ofwel 1 op 50.000.

We kunnen concluderen dat het inderdaad een unicum was dat de op 5 april 1985 geboren Erwin l?Ami en Jan Smeets tijdens het NK schaken precies op 5 april 2008 tegenover elkaar plaatsnamen, maar dat het niet zo onwaarschijnlijk was als de schaakmedewerker van de Telegraaf vermoedde.

Hier kan ik nog aan toevoegen dat, gelet op hun schaaksterkte en leeftijd, het aantal gezamenlijke NK deelnames van Erwin l'Ami (rating 2600, nummer 5 van NL) en Jan Smeets (rating 2578, nummer 8 van NL) nog sterk op kan lopen. Momenteel staan ze op drie gezamenlijke NK?s. Als we er van uitgaan dat het ze allebei lukt om het record van John van der Wiel te evenaren en ze nog 25 gezamenlijke NK?s voor de boeg hebben dan is de kans dat ze nog minimaal een keer op hun verjaardag tegenover elkaar komen te zitten ongeveer 0.07. Deze kans is niet groot maar ook niet te verwaarlozen klein zodat het al met al nog een keer zou kunnen gebeuren.

Bij het berekenen van kansen proberen mensen vaak op hun intu?tie af te gaan. Dat gaat ons in het algemeen slecht af omdat wij duidelijk geen probabilistische intu?tie bezitten. Schat voor de aardigheid eens in wat de kans is dat minimaal 2 van de 12 NK schakers in hetzelfde jaar geboren zijn. Je intu?tie zegt je dat die kans niet groot is maar in feite is deze bijna 1 [p = 1 - (1-1/25)(1-2/25).....(1-11/25) = 0.96]. Wat heet er blijken bij dit NK zelfs vier paren schakers in hetzelfde jaar geboren te zijn: Erwin l'Ami en Jan Smeets (1985), Dani?l Stellwagen en Daan Brandenburg (1987), Sipke Ernst en Ruud Janssen (1979) en Yge Visser en Manuel Bosboom (1963).

Op mijn verzoek was professor Bruce Martin zo vriendelijk mij de formule voor de kans dat meerdere paren deelnemers aan een (schaak)toernooi in hetzelfde jaar geboren zijn toe te sturen. Stel je organiseert een toernooi met n deelnemers die in een tijdsbestek van D jaren geboren zijn dan is de kans op x = 0, 1, 2, etc.. paren die in hetzelfde jaar (maar onderling verschillende jaren) geboren zijn: p(x ; D, n) = [n!/{(n-2x)! (x)! (2**x)}] [D!/{(D-n+x)! (D**n)}], met ! het faculteitsteken en ** het teken voor machtsverheffen. Met deze verbluffende formule vinden we voor het NK 2008 met vier paren p(x=4; D=25, n=12) = 0.04 ofwel een kans van 1 op 25. Een veel grotere kans dan ik vooraf ingeschat had.

Het mooie van Martin?s formule is dat we deze ook op andere toernooien toe kunnen passen. Voor het Corus 2008 toernooi bijvoorbeeld vind ik voor de A-groep met een paar (Anand en Ivanchuk, 1969) p(x=1; D=23, n=14) = 0.056 ofwel 1 op 18, voor de B-groep met vijf (!) paren p(x=5; D=32, n=14) = 0.008 ofwel 1 op 123, en voor de C-groep met twee paren p(x=2; D=19, n=14) = 0.091 ofwel 1 op 11. We zien dat het voorkomen van een of meer paren schakers die in verschillende jaren geboren zijn in het algemeen geen verrassing is. Er is pas sprake van een verrassing als er in de A-groep sprake geweest zou zijn van zeven paren. Zo vind ik voor 7 paren p(x=7;D=23;n=14) = 0.000014 een kans van 1 op bijna 70.000. Kijk! Zeven paren zou pas echt opzien gebaard hebben!